Физический энциклопедический словарь - преобразования лоренца.

В силу справедливости симметрии 1—4 преобразования, связывающие координаты и времена события х, у, z, t и x', у', z', t', измеренные в двух и. с. о. L и L', должны быть линейными. Из симметрии 1—4 и требования, чтобы преобразования составляли группу, можно получить вид этих преобразований. Если система отсчёта L' движется относительно L со скоростью V, то при надлежащем выборе осей координат и начал отсчёта времени в L и L' (оси х и х' направлены по V, оси у и y', z и z' соотв. параллельны, начала координат О и О' совпадают при t=0 и часы в L' установлены так, что при t=0 часы в О' показывают время t'=0) преобразования координат и времени имеют вид:

где с — параметр преобразования, имеющий смысл предельной скорости движения (равной скорости света в вакууме). Этот параметр может быть определён из любого эффекта О. т. (напр., из замедления времени распада быстрого -мезона). Справедливость кинематики и динамики, осно-

509

ванных на преобразованиях (2), подтверждена неисчислимой совокупностью эксперим. фактов.

Преобразования Лоренца (2) вместе с преобразованиями вращения вокруг начала координат образуют г р у п п у Л о р е н ц а; добавление к ней сдвигов во времени t' =t+a и в пр-ве х'=х+b (где a, b — произвольные постоянные размерности времени и длины) даёт группу Пуанкаре.

Т. к. законы природы должны иметь одинаковую форму во всех и. с. о., они должны сохранять свой вид при преобразованиях Лоренца. Это требование наз. принципом (постулатом) р е л я т и в и с т с к о й и н в а р и а н т н о с т и, или л о р е н ц-и н в а р и а н т н о с т и (лоренц-ковариантности), законов природы.

Из преобразований Лоренца вытекает релятив. закон сложения скоростей. Если ч-ца или сигнал движется в L по оси х со скоростью v, то в момент t x=vt и в системе L' скорость ч-цы v' = x'lt' равна:

Из этой ф-лы видна осн. черта релятив. кинематики — независимость скорости света от движения источника. Действительно, если скорость света, испущенного покоящимся в нек-рой и. с. о. L источником, есть с, v=c, то из (3) получим, что в и. с. о. L' скорость света v' также равна с. Т. к. направление оси произвольно, то отсюда следует независимость скорости света от движения источника. Это св-во скорости света однозначно определяет вид преобразований Лоренца: постулировав независимость скорости света от движения источника, однородность пр-ва и времени и изотропию пр-ва, можно вывести преобразования Лоренца.

Из преобразований Лоренца легко получить осн. эффекты О. т.: относительность одновременности, замедление времени, сокращение продольных размеров движущихся тел. Действительно, события 1, 2, одновременные в одной и. с. о. L, t1=t2, оказываются неодновременными в другой и. с. о. L', t'2-t'1=(x1-x2)V!c²(1-V²/c²)0. Далее, когда часы, покоящиеся в L в точке x=0, показывают время t, то время t' по часам в L', пространственно совпадающим с часами в L в этот момент времени, есть

т. е., с точки зрения наблюдателя в L', часы в L отстают. В силу принципа относительности, с точки зрения наблюдателя в L', все процессы в L замедлены в такое же число раз.

Легко получить также, что размеры l всех тел, покоящихся в L, оказываются при измерении в L' сокращёнными в 1/(1-V²/c²)раз в направлении V:

В частности, продольный диаметр сферы, движущейся со скоростью v относительно L, при измерении в L' будет в 1/(1-v²/c²) раз короче, чем поперечный. (Заметим, что это сокращение не обнаружилось бы на мгновенной фотографии сферы: из-за разл. запаздывания световых сигналов, приходящих от разных точек сферы, её видимая форма остаётся прежней.)

Для и. с. о. пространственно-временные эффекты, определяемые преобразованиями Лоренца, относительны: с точки зрения наблюдателя в L, замедляются все процессы и сокращаются все продольные масштабы в L'. .Однако это утверждение несправедливо, если хотя бы одна из систем отсчёта неинерциальна. Если, напр., часы 1 перемещаются относительно L из А в В со скоростью v, а потом из В в А со скоростью -v, то часы 1 отстанут по сравнению с часами 2, покоящимися в A, в 1/(1-v²/c²) раз; это можно обнаружить прямым сравнением, так что эффект абсолютен. Он должен иметь место для любого процесса; напр., близнец, совершивший путешествие со скоростью v, вернётся в 1/(1-v²/с²) раз более молодым, чем его брат, остававшийся неподвижным в и. с. о. Это явление, получившее назв. парадокса близнецов, в действительности не содержит парадокса: система отсчёта, связанная с часами 1, не явл. инерциальной, т. е. эти часы испытывают ускорение при повороте в В по отношению к инерц. системе; поэтому часы 1 и 2 н е р а в н о п р а в н ы.

При малых скоростях v преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея х'=х-vt, y'=y, z' = z, t'=t, к-рые описывают связь между картинами разл. наблюдателей, известную из повседневного опыта: размеры предметов и длительность процессов одинаковы для всех наблюдателей.

Преобразования Пуанкаре оставляют инвариантной величину, наз. интервалом sAB между событиями А и В, к-рый определяется соотношением:

Математически инвариантность s аналогична инвариантности расстояния при преобразованиях движения в евклидовой геометрии. Величины ct, x, у, z можно рассматривать как четыре координаты события в четырёхмерном пространстве-времени Минковского: x⁰=ct. x^l=x, x²=y, x³=z,

к-рые явл. компонентами четырёхмерного вектора.

С матем. точки зрения частная О. т. есть геометрия пространства-времени Минковского. (Если вместо х⁰ ввести мнимую координату x⁴=ix⁰=ict, то произвольное преобразование Пуанкаре можно записать в виде, полностью аналогичном ф-ле, описывающей вращения и сдвиги в трёхмерном пр-ве.) Вследствие того, что квадраты разностей временных и пространств. координат входят в (6) с разными знаками, знак s² может быть различным, геометрия такого пр-ва отличается от евклидовой и наз. п с е в д о е в к л и д о в о й.

Законы сохранения в О. т. и релятивистская механика. В О. т., так же как в классич. механике, для замкнутой физ. системы сохраняется импульс р и энергия ξ. Трёхмерный вектор импульса вместе с энергией образует четырёхмерный вектор энергии-импульса с компонентами ξ/с, р. При преобразованиях Лоренца остаётся инвариантной величина

где т — масса покоя ч-цы. Из требований лоренц-инвариантиости следует, что зависимость энергии и импульса от скорости имеет вид:

Энергия и импульс ч-цы связаны соотношением p=ξv/c². Оно справедливо также для ч-цы с нулевой массой покоя; тогда v=c и р=ξ/с.

Обсуждалась возможность существования объектов, движущихся со скоростью, большей скорости света в вакууме (т. н. тахионов). Формально это не противоречит лоренц-пнварнантности, но приводит к серьёзный затруднениям с выполнением принципа причинности.

Масса покоя т не явл. сохраняющейся величиной. В частности, в процессах распадов и превращений элем. ч-ц сумма энергий и импульсов ч-ц сохраняется, а сумма масс покоя меняется. Так, в процессе аннигиляции позитрона и эл-на в два фотона, е⁺+е^-2, сумма масс покоя изменяется на 2mе (mе — масса покоя эл-на).

В системе отсчёта, в к-рой тело покоится (такая система отсчёта наз. с о б с т в е н н о й), его энергия (энергия покоя) есть ξ0=mс². Если тело, оставаясь в покое, изменяет своё состояние, получая энергию в виде излучения или тепла, то из релятив. закона сохранения энергии следует, что полученная телом энергия ξ связана с увеличением его массы покоя соотношением ξ=mс². Величина ξ0=mс² определяет макс. величину энергии, к-рая может быть «извлечена» из данного тела в системе отсчёта, в к-рой оно покоится.

Для движущегося тела величина

510

определяет его кинетич. энергию. При v<<с (9) переходит в нерелятив. выражение ξкин=mv²/2, при этом импульс p=mv. Из определения ξкин следует, что для любого процесса в изолированной системе выполняется равенство:

(ξкин) = -с²(m). (10)

согласно к-рому увеличение кинетич. энергии пропорц. уменьшению суммы масс покоя. Это соотношение широко используется в яд. физике; оно позволяет предсказывать энерговыделение в яд. реакциях, если известны массы покоя участвующих в них ч-ц. Возможность протекания процессов, в к-рых происходит превращение энергии покоя в кинетич. энергию ч-ц, ограничена др. законами сохранения (напр., законом сохранения барионного заряда, запрещающим процесс превращения протона в позитрон и -квант). Иногда вводят массу, определяемую как

mдвиж=m/(1-v²/c²) (11)

При этом связь между импульсом и скоростью приобретает тот же вид, что и в ньютоновской механике: р=mдвижv. Так определ. масса отличается от энергии тела лишь множителем 1/с². (В теор. физике часто выбирают ед. измерения, полагая с=1, тогда ξ=m.)

Осн. ур-ния релятив. механики имеют такой же вид, как и второй закон Ньютона и ур-ние энергии, только вместо нерелятив. выражений для энергии и импульса используются выражения (8):

где F — сила, действующая на тело. Для заряж. ч-цы, движущейся в эл.-магн. поле, F есть Лоренца, сила.